Sistemas Lineares 101 - Parte 5 - Resposta ao impulso

Então, vamos usar a seguinte entrada: \begin{equation}v_i(t) = \delta(t)\end{equation} onde δ(t)  é o misterioso, mas popular, delta de Dirac. Portanto,  \begin{equation}h_c(t) \triangleq v_c(t)=\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}e^{-(t-\tau)/RC}\delta(\tau)d\tau  =\frac{1}{RC}e^{-t/RC}, t \geq 0.\end{equation}

Ok........  Vamos respirar um pouco e nos perguntar as seguinets questões neste momento:

Por que aplicar um impulso na entrada de um sistema dinâmico? Qual é o significado físico disso?

Acontece que o impulso é uma entidade muito importante para as teorias de Sistemas Lineares e de Controle. Vamos analisar cuidadosamente a resposta forçada, \begin{equation} v_c(t)=\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}e^{-(t-\tau)/RC}v_i(\tau)d\tau = \int_{0}^{t}h_c(t-\tau)v_i(\tau)d\tau = (h_c * v_i) (t), \;\; t \geq 0\end{equation} onde * é o operador da convolução.  Que? Você quer dizer que para obter a tensão no capacitor, temos que calcular a convolução entre a entrada e a resposta ao impulso? Sim, precisamente, e esse fato é verdadeiro para todos os sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT). Esse é precisamente o nosso caso, pois (1) não temos termos não lineares na equação; (2) os coeficientes do sistema são constantes, como assumimos no início da discussão. Esse fato explica a razão para a qual é importante obtermos a resposta ao impulso do sistema já que, através dela, conseguimos calcular a resposta forçada. Isso também explica a notação especial hc da última equação. Dessa forma, para o sistema em sua forma geral, podemos definir \begin{equation}h(t) \triangleq \int_{0}^{t}e^{-a(t-\tau)}b\delta(\tau)d\tau  =e^{-at}b, t \geq 0,\end{equation}bem como, \begin{equation} x(t)=\int_{0}^{t}e^{-a(t-\tau)}bu(\tau)d\tau = \int_{0}^{t}h(t-\tau)u(\tau)d\tau = (h * u) (t), \;\; t \geq 0.\end{equation}Massa... Mas, qual o significado físico de se aplicar um impulso ao sistema? Bom, é um senso comum (eu acho...) que o delta de Dirac é uma entidade estranha. Ele possui amplitude infinita e duração zero (!?), então será que poderíamos argumentar que, fisicamente, ele descreveria uma rajada perfeita de energia infinita (ou tensão ou seja lá o que for) aplicada ao sistema? Bom, isso é realmente uma viagem. Ao invés de irmos por esse caminho, vamos ao invés disso analisar a resposta ao impulso do sistema geral, \begin{equation}h(t) = e^{-at}b,\;\; t \geq 0\end{equation}e comparar com a resposta natural do sistema\begin{equation}x(t) = e^{-at}x_0, \;\; t \geq 0.\end{equation} A similaridade é desconfortante. Parece a mesma coisa, com a única diferença aparecendo através de x0 e b. Vamos então ser corajosos e realizar esse pulo! Podemos dizer, definitivamente, que essas duas coisas são equivalentes:

1. A resposta natural do sistema com condição inicial x0
2. A resposta ao impulso do sistema com o parâmetro de entrada respeitando b = x0

Esse fato é amplamente conhecido e usado em algumas aplicações de controle ótimo, é bastante útil, e possivelmete vamos vê-lo no futuro neste blog.

Finalmente (pois este post já está bem longo), vamos fazer uma breve discussão. Nessa série, não vamos estudar Controle Clássico, este não é o meu objetivo aqui. Meu objetivo é alcançarmos normas de sistemas para podermos prosseguir em Controle Ótimo, Estocástico e Robusto, indo para uma análise baseada no tempo ao invés de análise na frequência. Porém, essa discussão estaria incompleta sem esse breve adendo.

Considere a Transformada de Laplace de uma dada função a tempo contínuo. Defina a função de transferência do sistema da seguinte forma: \begin{equation}H(s) \triangleq \mathcal L\{h(t)\} = \frac{b}{s+a}\end{equation}Note ainda que\begin{equation}X(s) \triangleq \mathcal L\{x(t)\} = \mathcal L\{(h * u) (t)\} = H(s)U(s) \implies H(s) = \frac{X(s)}{U(s)},\end{equation}onde utilizamos propriedade da convolução. Portanto, a função de transferência,  pode ser definida como a transformada de Laplace da resposta ao impulso do sistema ou, de forma equivalente, da relação entrada-saída do sistema  (sempre para condições iniciais nulas!). Essa entidade é uma descrição completa do sistema em outro domínio. Eventualmente nos leva a todas as ferramentas do Controle Clássico, como  O Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz, O Lugar Geométrico das Raízes,  O Critério da Estabilidade de Nyquist, Análise pela Resposta em Frequência, o Diagrama de Bode, dentre outras. Para os leitores interessados, o site Linear Physical Systems Analysis cobre todos esses tópicos de forma bastante clara e intuitiva.