Sistemas Lineares 101 - Parte 6 - Resposta ao Degrau

Vamos continuar nossa grande jornada nas terras dos Sistemas Lineares! Qual o próximo passo? Ah, sim, vamos estudar a resposta ao degrau do nosso sistema. Por que resposta ao degrau? O que isso significa em termos físicos? Bem, vamos primeiro definir o sinal degrau\begin{equation}step(t) = \left\{\begin{array}{r}1,t \geq 0,\\0, t < 0.\end{array}\right.\end{equation}.

Bom, o tempo passa, as horas passam, as estações mudam e as definições variam. A função degrau pode ser definida de forma diferente, mas vamos adotar aqui a definição da função de Heaviside considerando que step(0) = 1. Ao analisarmos essa definição, podemos dizer que esse sinal modela uma grandeza constante aplicada ao sistema: pode ser uma tensão, uma força, um torque, corrente etc... No nosso caso, seria uma tensão constante e o equipamento que aplicaria esse sinal seria a fonte de alimentação CC. Exatamente em t = 0, a ligaríamos! Boom! Um último comentário, essa função também é conhecida como degrau unitário, já que sua amplitude é igual a 1. É facilmente generalizável, pois basta multiplicá-la por qualquer vamos que gostaríamos de utilizar.

Ok, vamos relembrar a resposta no tempo da queda de tensão no capacitor inicialmente descarregado, \begin{equation}v_c(t) = \frac{1}{RC}\int_{0}^te^{-(t-\tau)/RC}v_i(\tau)d\tau\end{equation}so that\begin{equation}v_c(t) = \frac{e^{-t/RC}}{RC}\int_{0}^te^{\tau/RC}d\tau = -e^{-t/RC}\cdot e^{-\tau/RC}|_0^t  = 1 - e^{-t/RC}, t \geq0. \end{equation} Ok, o que isso nos diz? Bom temos que \begin{equation}v_c(0) = 0\text{ V }\text{ and } v_c(\infty) = 1 \text{ V }.\end{equation} Portanto, o a tensão no capacitor começa em 0 V e começa a crescer até 1 V. Notamos que é um comportamento similar à de uma função degrau com uma diferença fundamental: o crescimento de 0 a 1 V não é instantâneo. Isso é causado pela dinâmica do sistema! Note que o termo exponencial, e consequentemente o polo em -1/RC (ou de forma equivalente, a constante de tempo RC), determina o quão rápido a tensão chega no valor final de 1 V. Legal, mas como? Podemos notar esse comportamento através da seguinte tabela:

vc(t) [V]	0,63	0,87	0,95	0,98	0,99
t [s]	τ	2τ	3τ	4τ	5τ

Isso é, ao tomarmos múltiplos de τ, temos uma ideia do quão rápida a tensão aumentará, não importando o valor numérico de τ. Para t = τ, temos que a tensão corresponde a 63% do valor final e, para t = 4τ,  98%. Vamos ver valores específicos típicos de um circuito RC: R = 1kΩ e C = 100 nF de forma que o polo será dado por -1/RC = -10.000. Em termos da constante de tempo, temos que τ = 100μs, que é um valor bem pequeno e o sistema é, portante, bem rápido. Nossa tabela se torna,

vc(t) [V]	0,63	0,87	0,95	0,98	0,99
t [μs]	100	200	300	400	500

Significa que en menos do que a metade de 1 milésimo de segundo, o capacitor estaria praticamente carregado! Isso é mais rápido que um piscar de olhos? Um equipamento adequado para medir essa sinal é o osciloscópio, em modo single aplicando uma onda quadrada ao circuito por meio de um gerador de funções, onde o sinal deve ser de baixa frequência de forma que o capacitor tenha tempo de carregar e descarregar completamente em um período.

Note também que a constante de tempo τ depende dos parâmetros do sistema. Para circuitos elétricos como o circuito RC,  τ normalmente é bem pequeno, de forma que as transições do sinal são bem rápidas, como vemos na prática. Porém, essa não é uma regra geral para todos os sistemas dinâmicos de primeira ordem, que podem ser bem lentos. Tudo depende do valor de τ, ou de forma equivalente, da própria natureza do sistema. Para exemplificar esse ponto, este link mostra a resposta ao degrau unitário para τ = 1.

Finalmente, temos que discutir o que ocorre ao aplicar o degrau a um sistema geral. Logo, \begin{equation}x(t) = \int_{0}^te^{-a(t-\tau)}bd\tau = \frac{b}{a}[1-e^{-at}], \;\; t\geq 0 \end{equation}de onde notamos que \begin{equation}x(\infty) = a/b.\end{equation} Isto é, a priori, o valor final é diferente do valor que aplicamos a entrada. No caso do circuito RC, temos que o valor final é 1 V pois a = b = 1/RC. Legal, não é?