Curiosities - 1 - Math LibreTexts

 Hi!

It's been some time since my last post, but I've come across this very interesting website with free and interative math books: https://math.libretexts.org/

Cheers!

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Sistemas Lineares 101 - Parte 5 - Resposta ao impulso

Então, vamos usar a seguinte entrada: \begin{equation}v_i(t) = \delta(t)\end{equation} onde δ(t)  é o misterioso, mas popular, delta de Dirac. Portanto,  \begin{equation}h_c(t) \triangleq v_c(t)=\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}e^{-(t-\tau)/RC}\delta(\tau)d\tau  =\frac{1}{RC}e^{-t/RC}, t \geq 0.\end{equation} Ok........  Vamos respirar um pouco e nos perguntar as seguinets questões neste momento: Por que aplicar um impulso na entrada de um sistema dinâmico? Qual é o significado físico disso? Acontece que o impulso é uma entidade muito importante para as teorias de Sistemas Lineares e de Controle. Vamos analisar cuidadosamente a resposta forçada, \begin{equation} v_c(t)=\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}e^{-(t-\tau)/RC}v_i(\tau)d\tau = \int_{0}^{t}h_c(t-\tau)v_i(\tau)d\tau = (h_c * v_i) (t), \;\; t \geq 0\end{equation} onde * é o operador da convolução .  Que? Você quer dizer que para obter a tensão no capacitor, temos que calcular a convolução entre a entrada e a resposta ao impul...
Read more

Sistemas Lineares 101 - Parte 3 - Resposta forçada

Certo. Então, no nosso último episódio , mostramos o procedimento para obter a solução do nosso sistema e introduzimos o conceito de  Equação Característica . Agora, vamos ser corajosos e aplicar uma entrada ao sistema: poderia ser um ruído, uma entrada exógena (externa), ou um sinal aplicado com algum objetivo. Relembrando o circuito RC , podemos escrever que  \begin{equation}RC \dot v_c + v_c = v_i,\end{equation}, onde vc é a queda de tensão no capacitor e vi é nossa entrada. Novamente, assumimos que R e C são constantes positivas. A questão aqui é a seguinte: podemos encontrar vc em função de vi de forma genérica? O método dos coeficientes a determinar nos diz que, Encontramos a solução da equação homogênea (sem entradas) Propomos uma solução particular, com forma similar ao do sinal conhecido vi Calculamos as constantes e obtemos a solução completa Notamos que já encontramos a solução da equação homogênea quando resolvemos\begin{equation}RC \dot v_c + v_c = 0\end{equa...
Read more

Linear Systems 101 - Part 4 - Preliminaires about the System's Response to Specific Inputs

In the previous post we calculated the time response of the voltage across the capacitor in an  RC circuit  as a function of the initial condition and an input .  Right now, we will start deriving this response for some common inputs, just for fun! Let us first recall the system equation we are studying\begin{equation}\dot v_c  = -\frac{1}{RC}v_c+\frac{1}{RC}v_i, \;\; v_c(0) = v_{c0}\end{equation} and the resulting voltage, \begin{equation}v_c(t) = \textcolor{blue}{e^{-t/RC}v_{c0}}+\textcolor{red}{\frac{1}{RC}\int_{0}^te^{-(t-\tau)/RC}v_i(\tau)d\tau} \end{equation} In blue   we have the natural response of the system, which is independent of the input applied and is indeed the homogeneous solution of the original differential equation. In red , we have the forced response of the system appearing due to the input signal, which comes from the particular solution of the original differential equation.  We have briefly discussed some properties yielded...
Read more