Sistemas Lineares 101 - Parte 1 - (Des)motivação para sistemas lineares a tempo contínuo

 Estava pensando que seria bacana publicar materiais sobre Controle de Sistemas Dinâmicos e o tema que estudo, os sistemas lineares com saltos markovianos. O primeiro tema possui material bastante abundante na internet e em livros. Já o segundo tema pode ser bastante complexo e difícil de entender para um iniciante, mesmo com o material já disponível. Eu vou tentar escrever pequenos posts tentando explicar esses assuntos, dentre outros, em poucas palavras.

Vamos começar com um exemplo básico para (des)motivar esse assunto. Vamos considerar um circuito RC e a equação diferencial que descreve a queda de tensão no capacitor:

\begin{equation}RC \dot v_c  + v_c  = v_i\end{equation}

onde vi é um sinal de entrada aplicado ao circuito. Essa equação é facilmente obtida através das Leis de Kirchhoff, a Lei de Ohm e a expressão da corrente no capacitor. Assumimos aqui que R e C são constants. Além disso, vamos considerar que o capacitor está inicialmente carregado e não aplicaremos no momento nenhum sinal de entrada neste circuito, de forma que 

\begin{equation}v_c(0) = v_{c0}, v_i(t) = 0, t \geq 0,\end{equation}onde é importante salientar que impomos que todo sinal é nulo para t <0 em todos os posts nesse tema.

Portanto, é possível obtermos a resposta no tempo de vc(t) por integração de forma que

\begin{equation} d v_c / v_c = - dt/RC \implies v_c(t) = e^{-t/RC}v_{c0}, t \geq 0  \end{equation}

Vamos aproveitar este momento e introduzirmos algumas definições:

  • vi é a entrada do sistema: um sinal externo que modifica seu comportamento
  • vc é um estado do sistema: um sinal interno que descreve o sistema
Se pudermos medir vc diretamente (através de um osciloscópio, por exemplo), diríamos que vc é a nossa saída medida (é mesmo??). Por outro lado, poderíamos ter acesso a outra grandeza, como a corrente no capacitor ic. Neste caso, ic seria nossa saída medida, isto é, ela depende da informação disponível (ou medida).

Sempre que não aplicamos uma entrada no sistema, como realizado neste exemplo, então a resposta vc(t) do sistema é chamada de resposta natural (ou não forçada). Nesse caso, estamos interessados em conhecer a trajetória (ou caminho, ou valores) do estado vc(t)  a partir de t=0. Será que essa resposta irá aumentar progressivamente e sem parar (um sistema instável)? Será que vai decair para 0 (um sistema estável)? Será que vai oscilar indefinidamente? Como vamos ver, é possível saber a priori o que ocorrerá ao analisarmos o argumento da função exponencial de vc(t). Como R e C são constantes positivas e o tempo t é não-negativo, notamos que 

\begin{equation}v_c(t) = \frac{v_{c0}}{e^{t/RC}} \to 0 \text{ as } t \to \infty\end{equation} 

Isso é bem bacana! Essa equação nos diz que um capacitor carregado pode ser descarregado através de um resistor, o que realmente ocorre na prática! Chamamos de responsa em regime (ou estado) estacionário (ou permanente) de um sistema, o comportamento quando t é "grande o suficiente". Talvez discutamos isso significa quando nosso tempo t tenha transcorrido "o suficiente").

Mas o que ocorre entre t=0 e t ``grande o suficiente'?   Essa região é chamada de resposta transiente do sistema e pode ser bastante complicada de descrever dependendo do tipo de sistema que estamos analisando. Para nós, como podemos analisar a partir de vc(t), esse comportamento nesse caso é de um decaimento exponencial cuja velocidade de queda da condição inicial até a origem depende da chamada constante de tempo:
\begin{equation}\tau = RC\end{equation}
Para os interessados, é possível ver essas curvas na página do circuito RC ou plotar a tensão no Wolfram Alpha.

Posso usar essas definições em outros tipos de sistema? Claro, podemos utilizá-las com um certo cuidado. Como veremos nos próximos posts, essa análise pode se tornar bastante complicada. O que podemos postular agora é que para qualquer sistema linear escalar de primeira ordem e não forçado pode ser descrito por 
\begin{equation}\dot x = -a x, x(0) = x_0,\end{equation}
cuja resposta é dado por 
\begin{equation}x(t) = e^{-at} x_0, t\geq0\end{equation} 
No próximo post, iremos aprofundar nosso conhecimento em sistemas lineares de primeira ordem. A propósito, esse "primeira ordem" que mencionei se refere ao maior grau dos termos derivativos da equação diferencial que descreve o sistema.


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