Sistemas Lineares 101 - Parte 3 - Resposta forçada

Certo. Então, no nosso último episódio, mostramos o procedimento para obter a solução do nosso sistema e introduzimos o conceito de Equação Característica. Agora, vamos ser corajosos e aplicar uma entrada ao sistema: poderia ser um ruído, uma entrada exógena (externa), ou um sinal aplicado com algum objetivo. Relembrando o circuito RC, podemos escrever que  \begin{equation}RC \dot v_c + v_c = v_i,\end{equation}, onde vc é a queda de tensão no capacitor e vi é nossa entrada. Novamente, assumimos que R e C são constantes positivas. A questão aqui é a seguinte: podemos encontrar vc em função de vi de forma genérica? O método dos coeficientes a determinar nos diz que,

1. Encontramos a solução da equação homogênea (sem entradas)
2. Propomos uma solução particular, com forma similar ao do sinal conhecido vi
3. Calculamos as constantes e obtemos a solução completa

Notamos que já encontramos a solução da equação homogênea quando resolvemos\begin{equation}RC \dot v_c + v_c = 0\end{equation}que leva a \begin{equation} v_c = e^{-t/RC}v_{c0}, t \geq 0\end{equation}

Ok, mas no Passo 2 é necessário um padrão, um formato do sinal em vi, podendo ser uma função degrau, um impulso, sinais senoidais, que seja... Aqui, ao contrário, gostaríamos de uma solução geral que independe do tipo de sinal plugado em vi. Para isso, vamos utilizar o método da variação dos parâmetros:

1. Encontre a solução da equação homogênea
2. Proponha uma solução particular na forma \begin{equation}v_p = \sum_{i = 1}^nc_i(t) v_{h}^{(i)},\end{equation} onde n é a oredm da equação diferencial e \begin{equation}v_h^{(i)}, \;\;i = 1,\ldots, n,\end{equation} são as "partes" que compõem a solução homogênea sem as constantes, isto é, as bases da solução homogênea.
3. Encontre {ci(t)} e calcule a solução particular 
4. Calcule a solução final, \begin{equation}v_c = v_h + v_p\end{equation} 

Nossa, esse método parece bem mais complicado do que o primeiro! Vamos então com calma! O primeiro passo já foi realizado anteriormente. O Passo 2 é facilmente realizável lembrando que a ordem da equação diferencial é n = 1, de forma que \begin{equation} v_p = \sum_{i = 1}^1c_i(t) v_{h}^{(i)} = c_1(t)v_h^{(1)} = c_1(t)e^{-t/RC}.\end{equation} Note que pegamos a equação homogênea e plugamos na particular sem a constante que a multiplica. Muito massa! Vamos agora calcular solução particular no Passo 3: \begin{equation}v_i = RC \dot v_p + v_p= RC [\dot c_1e^{-t/RC} - c_1e^{-t/RC}/RC] + c_1(t)e^{-t/RC},\end{equation} which yields\begin{equation}RC\dot c_1e^{-t/RC} = v_i  \leftrightarrow  \dot c_1 = e^{t/RC}v_i/RC.  \end{equation} Finalmente (!),  integrando de 0 a t, temos que \begin{equation}c_1(t) = \frac{1}{RC}\int_{0}^t e^{\tau/RC}v_i(\tau)d\tau + C,\end{equation} onde, de acordo com os melhores matemáticos, podemos anluar a constante C sem qualquer problema na solução final (Cálculo Diferencial, quem nunca?). Mas, nosso trabalho ainda não acabou! Temos que calcular a a equação particular para nos deparar com a famosa (e temida, e confusa , e difícil, a lista de adjetivos dada por estudantes é infinita) integral de convolução, \begin{equation}v_p = c_1(t) e^{-t/RC}=\frac{1}{RC}\int_{0}^t e^{(\tau-t)/RC}v_i(\tau)d\tau\end{equation}

Nossa, isso tomou muito tempo mesmo. Ainda não acabou! Temos que calcular a solução final no Passo 4:\begin{equation}v_c = v_h +v_p = e^{-t/RC}v_{c0} + \frac{1}{RC}\int_{0}^t e^{-(t-\tau)/RC}v_i(\tau)d\tau, t \geq 0\end{equation}.

Pronto, fim! E ai? Vamos ver alguns exemplo no próximo post, com mais calma.

Só espera um minuto, nosso tempo ainda não acabou! O que significa base da solução homogênea? Note que a partir de \begin{equation}v_h^{(1)} = e^{-t/RC},\end{equation}  podemos escrever qualquer solução da equação homogênea ao multiplicarmos essa base por uma constante (nesse caso, essa constante é a própria condição inicial).  O conceito de base vem da Álgebra Linear.