Sistemas Lineares 101 - Parte 4 - Preliminares sobre Respostas a Entradas Específicas

No nosso último post, calculamos a resposta no tempo da queda de tensão no capacitor em um circuito RC em função da condição inicial e de uma entrada. Agora, vamos começar a derivar a resposta específica para alguns sinais mais comuns! Primeiro, vamos relembrar a equação do sistema, \begin{equation}\dot v_c  = -\frac{1}{RC}v_c+\frac{1}{RC}v_i, \;\; v_c(0) = v_{c0}\end{equation} e a tensão no capacitor, \begin{equation}v_c(t) = \textcolor{blue}{e^{-t/RC}v_{c0}}+\textcolor{red}{\frac{1}{RC}\int_{0}^te^{-(t-\tau)/RC}v_i(\tau)d\tau} \end{equation} Em azul, temos a resposta natural do sistema, que é independente da entrada aplicada e é, na verdade, a solução da equação homogênea derivada do sistema diferencial original. Em vermelho, temos a resposta forçada do sistema, que surge devido ao sinal de entrada, proveniente da solução particular da equação diferencial.

Discutimos brevemente algumas propriedades da resposta natural do sistema nos últimos posts. Pode se dizer que o mais importante é o da estabilidade. Vamos relembrar o que é isso! Notamos que, como R e C são constantes positivas, temos que \begin{equation}\lim_{t\to \infty}e^{-t/RC}v_{c0} = \lim_{t\to\infty}\frac{v_{c0}}{e^{t/RC}} = 0.\end{equation} Relembrando da nossa solução geral da equação não forçada,\begin{equation}x(t) = e^{-at}x_0, t \geq 0,\end{equation}notamos que \begin{equation}\lambda = -a=-\frac{1}{RC}\end{equation} é o polo do nosso sistema. Nesse momento, como esse valor é negativo, sabemos com certeza que o capacitor não vai explodir! Além disso, note que\begin{equation}v_c(\infty) \triangleq \lim_{t\to \infty} v_c(t) =\frac{1}{RC}\int_{0}^{\infty}e^{-(t-\tau)/RC}v_i(\tau)d\tau.  \end{equation}Muito legal! O que essa equação nos diz é que quando olhamos a resposta em estado estacionário do sistema, os efeitos da resposta natural vão eventualmente desaparecer se o sistema é estável, restando somente os efeitos da resposta forçada. Aqui, preciso pedir perdão aos matemáticos pelo abuso de notação desta última equação!

É possível sermos ainda mais gerais e escrevermos uma resposta para um sistema geral ao invés de especificamente estudarmos o circuito RC? Claro, ao definirmos, \begin{equation}\dot x  = -ax+bu, \;\; x(0) = x_{0},\end{equation} onde x é o estado e u é a entrada, e ao inspecionarmos a expressão da tensão no capacitor, temos então que,\begin{equation}x(t) = e^{-at}x_0+\int_0^t e^{-a(t-\tau)}bu(\tau)d\tau,\;\; t \geq 0,\end{equation} onde notamos que

1. Se impusermos b = 0, obtemos então a resposta natural do sistema estudando anteriormente.
2. Se impusermos a=b = 1/RC, obtemos a tensão no capacitor, como esperado.

Ok, então, vamos calcular as respostas para algumas entradas comuns. Com o argumento que a resposta natural vai eventualmente desaparecer, vamos considerar o sistema inicialmente em repouso (condição inicial é zero) e calcular nos próximos posts, as respostas ao impulso, degrau e senoidal.