Markovianize Me

 Ok, we have studied until now the impulse and step response. Our next subject is the sinusoidal response and we are going to study it in 3 posts. 3 posts?! Oh yes, it is that important (and also a little bit more complicated to do the calculations). Here in this post, we are just motivating and justifying, anyway, presenting the reasons why it is important to study how sinusoidals are affected by dynamic (LTI) systems. We will also make some detours from Linear and Control Systems and invade the realm of Signal Processing, but just a bit, I swear! First, let us recall what a sinusoid is: \begin{equation}s(t) = s \sin(\omega t + \phi), \end{equation} where s is the amplitude, ω is the (angular) frequency, and   ϕ is the phase.  A typical sinusoidal wave is shown here . Note that, a priori, the signal extends from - ∞ to ∞ but, as we are doing here throughout this series, we consider that s(t) = 0 for t < 0.  Right, so what? Well for starters,  it t...

 Oi pessoal! Faz um tempo que não posto, mas me deparei com esse site muito bom com livros gratuitos e interativos de matemática: https://math.libretexts.org/ Está em inglês! Bom proveito!

 Hi! It's been some time since my last post, but I've come across this very interesting website with free and interative math books: https://math.libretexts.org/ Cheers!

Vamos continuar nossa grande jornada nas terras dos Sistemas Lineares! Qual o próximo passo? Ah, sim, vamos estudar a resposta ao degrau do nosso sistema. Por que resposta ao degrau? O que isso significa em termos físicos? Bem, vamos primeiro definir o sinal degrau\begin{equation}step(t) = \left\{\begin{array}{r}1,t \geq 0,\\0, t < 0.\end{array}\right.\end{equation}. Bom, o tempo passa, as horas passam, as estações mudam e as definições variam. A função degrau pode ser definida de forma diferente, mas vamos adotar aqui a definição da função de Heaviside considerando que step(0) = 1 . Ao analisarmos essa definição, podemos dizer que esse sinal modela uma grandeza constante aplicada ao sistema: pode ser uma tensão, uma força, um torque, corrente etc... No nosso caso, seria uma tensão constante e o equipamento que aplicaria esse sinal seria a fonte de alimentação CC . Exatamente em t = 0 , a ligaríamos! Boom! Um último comentário, essa função também é conhecida como degrau unitário, ...

 Continuing our great journey through the lands of Linear Systems, what's next? Oh, yes, we are going to study the step response of the system. Why step response? What does that mean in physical terms? Well, let us first define the step signal as follows,\begin{equation}step(t) = \left\{\begin{array}{r}1,t \geq 0,\\0, t < 0.\end{array}\right.\end{equation}. Well, time goes by, hours pass, seasons change, and definitions vary. The step function can be defined differently, but we will adopt the  Heaviside step function  definition here considering that step(0) = 1 . By analyzing this definition, we can say that this signal model is a constant "something" applied to the system: something as a voltage, a force, a torque, a current, etc. In our case, it would be "constant voltage" and the equipment that we could use here is the DC power supply . At exactly t = 0, we would turn it on! Boom! One final remark, this is also known as the unity step, since its amplitud...

Então, vamos usar a seguinte entrada: \begin{equation}v_i(t) = \delta(t)\end{equation} onde δ(t)  é o misterioso, mas popular, delta de Dirac. Portanto,  \begin{equation}h_c(t) \triangleq v_c(t)=\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}e^{-(t-\tau)/RC}\delta(\tau)d\tau  =\frac{1}{RC}e^{-t/RC}, t \geq 0.\end{equation} Ok........  Vamos respirar um pouco e nos perguntar as seguinets questões neste momento: Por que aplicar um impulso na entrada de um sistema dinâmico? Qual é o significado físico disso? Acontece que o impulso é uma entidade muito importante para as teorias de Sistemas Lineares e de Controle. Vamos analisar cuidadosamente a resposta forçada, \begin{equation} v_c(t)=\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}e^{-(t-\tau)/RC}v_i(\tau)d\tau = \int_{0}^{t}h_c(t-\tau)v_i(\tau)d\tau = (h_c * v_i) (t), \;\; t \geq 0\end{equation} onde * é o operador da convolução .  Que? Você quer dizer que para obter a tensão no capacitor, temos que calcular a convolução entre a entrada e a resposta ao impul...

So, let us use the following input \begin{equation}v_i(t) = \delta(t)\end{equation} where δ(t) is the ever elusive and mysterious, but ubiquitous,  Dirac delta .  Therefore, \begin{equation}h_c(t) \triangleq v_c(t)=\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}e^{-(t-\tau)/RC}\delta(\tau)d\tau  =\frac{1}{RC}e^{-t/RC}, t \geq 0.\end{equation} Ok........ Let us pause a little bit and pose some questions here: Why use an impulse as an input to a dynamic system? What is the physical meaning? It turns out that the impulse is a very important entity for  Linear Systems and Control Theory. Let us have a closer look at the forced response, \begin{equation} v_c(t)=\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}e^{-(t-\tau)/RC}v_i(\tau)d\tau = \int_{0}^{t}h_c(t-\tau)v_i(\tau)d\tau = (h_c * v_i) (t), \;\; t \geq 0\end{equation} where * is the  convolution operator .  Wait, what? Are you saying that for obtaining the voltage across the cap, we just have to calculate the convolution of the input with its impulse r...

No nosso último post , calculamos a resposta no tempo da queda de tensão no capacitor em um circuito RC em função da condição inicial e de uma entrada . Agora, vamos começar a derivar a resposta específica para alguns sinais mais comuns! Primeiro, vamos relembrar a equação do sistema, \begin{equation}\dot v_c  = -\frac{1}{RC}v_c+\frac{1}{RC}v_i, \;\; v_c(0) = v_{c0}\end{equation} e a tensão no capacitor, \begin{equation}v_c(t) = \textcolor{blue}{e^{-t/RC}v_{c0}}+\textcolor{red}{\frac{1}{RC}\int_{0}^te^{-(t-\tau)/RC}v_i(\tau)d\tau} \end{equation} Em  azul , temos a resposta natural do sistema, que é independente da entrada aplicada e é, na verdade, a solução da equação homogênea derivada do sistema diferencial original. Em   vermelho , temos a resposta forçada do sistema, que surge devido ao sinal de entrada, proveniente da solução particular da equação diferencial. Discutimos brevemente algumas propriedades da resposta natural do sistema nos últimos posts. Pode se di...

In the previous post we calculated the time response of the voltage across the capacitor in an  RC circuit  as a function of the initial condition and an input .  Right now, we will start deriving this response for some common inputs, just for fun! Let us first recall the system equation we are studying\begin{equation}\dot v_c  = -\frac{1}{RC}v_c+\frac{1}{RC}v_i, \;\; v_c(0) = v_{c0}\end{equation} and the resulting voltage, \begin{equation}v_c(t) = \textcolor{blue}{e^{-t/RC}v_{c0}}+\textcolor{red}{\frac{1}{RC}\int_{0}^te^{-(t-\tau)/RC}v_i(\tau)d\tau} \end{equation} In blue   we have the natural response of the system, which is independent of the input applied and is indeed the homogeneous solution of the original differential equation. In red , we have the forced response of the system appearing due to the input signal, which comes from the particular solution of the original differential equation.  We have briefly discussed some properties yielded...

Certo. Então, no nosso último episódio , mostramos o procedimento para obter a solução do nosso sistema e introduzimos o conceito de  Equação Característica . Agora, vamos ser corajosos e aplicar uma entrada ao sistema: poderia ser um ruído, uma entrada exógena (externa), ou um sinal aplicado com algum objetivo. Relembrando o circuito RC , podemos escrever que  \begin{equation}RC \dot v_c + v_c = v_i,\end{equation}, onde vc é a queda de tensão no capacitor e vi é nossa entrada. Novamente, assumimos que R e C são constantes positivas. A questão aqui é a seguinte: podemos encontrar vc em função de vi de forma genérica? O método dos coeficientes a determinar nos diz que, Encontramos a solução da equação homogênea (sem entradas) Propomos uma solução particular, com forma similar ao do sinal conhecido vi Calculamos as constantes e obtemos a solução completa Notamos que já encontramos a solução da equação homogênea quando resolvemos\begin{equation}RC \dot v_c + v_c = 0\end{equa...

 Alright, alright. So, in the previous episode , we have shown the procedure of obtaining the solution of our system and introduced the concept of Characteristic Equation . Now, let us get bold and apply an input to our system: it could be noise , an exogenous (external) input ; or a known signal applied with some purpose. Recalling our RC circuit , we can write that\begin{equation}RC \dot v_c + v_c = v_i,\end{equation} where vc is the voltage across the capacitor and vi is our input. Once again, we assume that R and C are positive constants. The question is, can we find vc in function of the input vi ? The well-known method of undetermined coefficients for solving forced differential equations would be, Find the solution of the homogeneous equation Propose the particular solution, which has a similar form of a known vi Evaluate the constants and provide the complete solution As it turns out, we have already found the homogeneous solution by solving  \begin{equation}RC \d...

Vamos continuar nossa jornada emocionante. Para aqueles que não leram o último post, vocês podem encontrá-lo aqui . Recapitulando, estudamos um exemplo de sistema linear de primeira ordem sem entrada com a seguinte descrição \begin{equation}\dot x = -ax, x(0) = x_0\end{equation} Definimos também alguns termos úteis e encontramos a solução de tal sistema. Antes de continuarmos, vamos olhar com cuidado o procedimento em encontrar a solução deste sistema. Existem diversos métodos para resolver esse tipo de equação, eu mesmo realizei sua integração para encontrar a solução. Agora, vamos usar outro método bastante utilizado, que é o de " chutar " a solução\begin{equation}\dot x + ax = 0, \text{ for } x = Ce^{\lambda t}, t \geq 0\end{equation} Por que eu "chutei" uma solução exponencial? Bom, uma explicação é que a derivada dessa função leva a ela mesma multiplicada por uma constante ( educated guess ). Notem que temos duas incógnitasi aqui,   C  e λ. Precisamos então d...

 So let us continue our great journey. For the ones who did not read the previous post yet, you can find it here . Here's a brief recap. We have studied an unforced first order scalar linear system with the form \begin{equation}\dot x = -ax, x(0) = x_0\end{equation} defined some useful terms, and found its time solution. Before proceeding, let us have a closer look on the procedure of finding this solution. There are quite a few methods of solving it, the one I used in the last post was by integration . Now, let us apply the very common method of guessing the solution: \begin{equation}\dot x + ax = 0, \text{ for } x = Ce^{\lambda t}, t \geq 0\end{equation} Why did I guess an exponential solution? Well, an explanation is that it is a function whose derivative leads to itself multiplied by a constant term. Besides, we have now two unknowns, C and λ. Thus, we need two equations for obtaining those values. The first one comes from  \begin{equation}\dot x + ax = Ce^{\lambda t}(\...

 Estava pensando que seria bacana publicar materiais sobre Controle de Sistemas Dinâmicos e o tema que estudo, os sistemas lineares com saltos markovianos. O primeiro tema possui material bastante abundante na internet e em livros. Já o segundo tema pode ser bastante complexo e difícil de entender para um iniciante, mesmo com o material já disponível. Eu vou tentar escrever pequenos posts tentando explicar esses assuntos, dentre outros, em poucas palavras. Vamos começar com um exemplo básico para (des)motivar esse assunto. Vamos considerar um circuito RC  e a equação diferencial que descreve a queda de tensão no capacitor: \begin{equation}RC \dot v_c  + v_c  = v_i\end{equation} onde  vi é um sinal de entrada aplicado ao circuito. Essa equação é facilmente obtida através das Leis de Kirchhoff, a Lei de Ohm e a expressão da corrente no capacitor. Assumimos aqui que R e C são constants. Além disso, vamos considerar que o capacitor está inicialmente carregado e não ...

I was thinking that it would be awesome to publish some material regarding Control Systems and the subject I study, Markov Jump Linear Systems. For the former subject, there is a lot of material on the web. The latter subject can be quite complex and difficult to understand for a beginner. Here, I am gonna try to write brief posts explaning these subjects (and many more) in a nutshell. So, let us begin with a basic example to motivate this subject. Consider a RC circuit and the associated differential equation of the voltage on the capacitor: \begin{equation}RC \dot v_c  + v_c  = v_i\end{equation} where vi is an input signal applied to the circuit. This equation is easily obtained through Kirchhoff's Law , Ohm's Law and the equation of the current across the capacitor. We assume here that R and C are constant. Let us assume that the capacitor is initially charged and that no input is applied to the system so that  \begin{equation}v_c(0) = v_{c0}, v_i(t) = 0, t \geq 0.\e...

Hi all. I've been wanting for a long time to create a webpage for me with the goal of centralizing research, teaching, and miscelaneous info. In fact, it is been so since I joined Unifesp at 2019, but only now I had the opportunity of finishing it. I am not a web designer so  I could only hope that by tinkering with the Google Site Tools I would be able to get something at least presentable.  So there you have it! In the "Home" section, you can find some bibliographic info about myself; in the "Teaching" section you'll find (guess what?) some info regarding classes I've been teaching at Unifesp; in "Research" I highlighted my research interests and some selected articles; in "Projects" you can find my current and past research and extension projects; in "Interests" you're going to find some hobbies and interests I have; in "Contact", my job address and some research webpages can be found and, finally, in "...